Cálculo Vectorial – Claudio Pita Ruiz

Este es un libro de cálculo diferencial e integral de funciones cuyo dominio y/o codominio son subconjuntos del espacio Rn. Como a los elementos de este espacio se les llama “vectores”, un nombre popular para este tipo de temas dentro del cálculo es el de “cálculo vectorial”. De otro modo aún, este libro trata sobre el cálculo en (espacios de) dimensiones superiores.

 

El único prerrequisito formal para estudiar el material que aquí se presenta, es haber tomado un curso de cálculo diferencial e integral de funciones reales de una variable real (como el que se estudia en un primer semestre de cálculo), junto con algunos resultados elementales sobre sistemas de ecuaciones lineales y matrices (que se estudian generalmente en un curso de álgebra superior o en los primeros capítulos de un curso de álgebra lineal).

 

 

CONTENIDO:

Capítulo 1. Introducción al espacio R (potencia n) y al álgebra lineal

 

1.1. El espacio R (potencia n)

1.2. Producto punto. Proyecciones

1.3. Norma y distancia

1.4. Bases ortonormales. Cambios de base

1.5. El producto cruz en R (potencia 3) Apéndice. Coordenadas cilíndricas y esféricas

1.6. Rectas y planos en R (potencia 3)

1.7. Transformaciones lineales

1.8. Valores y vectores propios 1.9 Formas cuadráticas

 

Capítulo 2. Funciones de varias variables

 

2.1. Funciones de varias variables

2.2. Geometría de las funciones de varias variables

2.3. Límites y continuidad

2.4. Derivadas parciales

2.5. Derivadas direccionales Apéndice. El teorema del valor medio

2.6. Diferenciabilidad

2.7. Diferenciabilidad y derivadas direccionales Apéndice. El Teorema de Euler sobre funciones homogéneas

2.8. Gradiente

2.9. Vectores normales

2.10. Planos tangentes

2.11. La diferencial

2.12. Derivadas parciales de órdenes superiores

Apéndice 1. Funciones de clase (*)

Apéndice 2. El Teorema de Euler sobre funciones homogéneas (versión general para funciones de dos variables)

 

Capítulo 3. Funciones compuestas, inversas e implícitas

 

3.1. Composición de funciones

3.2. Regla de la cadena

3.3. Regla de la cadena. Perspectiva general

3.4. Funciones implícitas (I)

3.5. Funciones implícitas (II)

3.6. Funciones inversas

3.7. Un interludio numérico: el método de Newton para sistemas no lineales

 

Capítulo 4. Extremos de las funciones de varias variables

 

4.1. Definición y ejemplos preliminares

4.2. La fórmula de Taylor de segundo orden

4.3. Condiciones suficientes para la existencia de extremos locales

4.4. Caso de dos variables. Ejemplos Apéndice. El método de mínimos cuadrados

4.5. Extremos condicionados Apéndice Extremos absolutos de funciones en regiones compactas

4.6. Extremos condicionados (II): condiciones suficientes

 

Capítulo 5. Curvas en el espacio

 

5.1. Introducción. Límites y continuidad

5.2. Caminos en R (potencia n). Consideraciones y ejemplos preliminares 5.3 Diferenciabilidad. Curvas regulares

5.4. Reparametrizaciones 5.5 Longitud de un camino 5.6 Reparametrizaciones por longitud de arco 5.7 Curvatura

5.8. Curvas paralelas

5.9. Plano osculador, normal y rectificante

5.10. Torsión 5.11 Aplicaciones a la dinámica

 

Capítulo 6. Integrales múltiples

 

6.1. Integrales dobles (I): funciones escalonadas

6.2. Integrales dobles (II): funciones integrables sobre rectángulos Apéndice. Integrabilidad de funciones discontinuas en conjuntos de medida cero

6.3. Integrales dobles de funciones sobre regiones más generales

6.4. Cambio de variables en integrales dobles

6.5. Aplicaciones de las integrales dobles

6.5.1. Volúmenes de cuerpos en el espacio

6.5.2. Áreas de figuras planas

6.5.3. Centros de masa y momentos de figuras planas

6.5.4. Valor medio de una función

6.6. Integrales triples

6.7. Cambio de variables en integrales triples

6.7.1. Coordenadas cilíndricas 6.7.2 Coordenadas esféricas

6.8. Aplicaciones de las integrales triples

6.8.1. Volúmenes de cuerpos en el espacio

6.8.2. Centros de masa y momentos de cuerpos en el espacio

6.8.3. Valor medio de una función 6.9 Integrales N-múltiples

 

Capítulo 7. Integrales de línea

 

7.1. Curvas en el espacio: resumen de hechos importantes

7.2. Campos vectoriales Apéndice. Campos vectoriales en los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas

7.3. Integrales de línea: definición y propiedades

7.4. Independencia del camino, campos conservativos y funciones potenciales

7.5. Un interludio topológico: conexidad

7.5.1. Conjuntos conexos

7.5.2. Conjuntos conexos por caminos

7.5.3. Conjuntos simplemente conexos, homotopía

7.6. Ecuaciones diferenciales exactas

7.7. Integrales de línea con respecto a la longitud de arco

7.7.1. Definición y propiedades

7.7.2. Aplicaciones

7.8. La perspectiva de la física

7.9. El teorema de Green Apéndice (I). Una demostración del teorema de cambio de variables en integrales dobles Apéndice (II). La desigualdad isoperimétrica

7.10. Rotación de un campo en R (potencia 2)

7.11. La divergencia de un campo vectorial (I): campos en R (cuadrado) Apéndice. La divergencia en los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas

 

Capítulo 8. Superficies en R (potencia 3)

 

8.1. Superficies simples

8.2. Reparametrizaciones

8.3. Espacios tangentes, planos tangentes y vectores normales

8.4. Superficies más generales

8.5. Orientación de superficies

8.6. Área de una superficie

8.7. Tubos

8.7.1. Tubos en R (cuadrado)

8.7.2. Tubos en R (potencia 3)

 

Capítulo 9. Integrales de superficie

 

9.1. Integrales de superficie de funciones reales

9.1.1. Aplicaciones (I). Valor medio de una función definida en una superficie

9.1.2. Aplicaciones (II). Centros de masa y momentos de superficies

9.2. Integrales del superficie de campos vectoriales

9.3. La divergencia de un campo vectorial (II): campos en R (potencia 3)

9.4. El rotacional de un campo vectorial Apéndice. El rotacional en los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas

9.5. El teorema de Stokes

9.6. Grad, Div, Rot: Las fórmulas clásicas del análisis vectorial Capítulo

 

Capítulo 10. Formas diferenciales

 

10.1. Definiciones preliminares. Suma y producto de formas

10.2. La diferencial exterior

10.3. Cambio de variables en formas

10.4. Integración de p-formas sobre p-cubos

10.5. Integración de p-formas sobre p-cadenas

10.6. El teorema (general) de Stokes

Respuestas a los ejercicios

Bibliografía

Índice analítico

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